传奇数学家Raoul Bott （from 北大未名站）
───────────────────────────────────────作者 weyl (倘使一切如初), 信区: Mathematics
标题 数学家Raoul Bott 的一生及其工作 (zt)zz
时间 北大未名站 (2006年06月30日22:48:21 星期五) , 站内信件
───────────────────────────────────────
Raoul Bott 于 2005 年 12 月 20 日辞世。在长达五十余年的数学生涯里，他深刻 地改变了几何与拓扑的面貌。要改进他本人的回忆文章[B3][B4][B1]和关于论文的 评论[B5]，而仅将它们作为洞察，辞藻的多彩转折，和奇闻轶事，是件令人退缩的 事情。本文是曾在书 The Founders of Index Theory: Reminiscences of Atiyah , Bott, Hirzebruchm, and Singer (edited by S.T.Yau, International Press, 2003) 中出现的一个更新版。因为关于这个项目的个人兴趣，Raoul Bott 把我介绍给他的一些朋友并且给我接近他的档案的权利。在 2006 年 6 月原始文章完成后 ，他通读过并且验证了关于他的生活和工作的记录的基本正确性。为了保持它作为 授权传记的出版许可，我对 2003 年版本做的唯一修改仅涉及这个介绍性段落，他 所获奖项的更新，以及对没有在文中引用的他的著作列表的删节。
早期
Raoul Bott 在 1923 年生于布达佩斯。他的血统完全反映了那时这个地区的地缘政 治的复杂性。他母亲的家庭是匈牙利人和犹太人，而他的父亲一边是奥地利人和天 主教徒。他的双亲在他出生后不久就离婚了，所以他是在他的母亲和继父抚养下长大的。Raoul 被培养成一个天主教徒，在斯洛伐克(七十年后，在先后属于匈牙利， 捷克斯洛伐克，今天成为了一个独立的国家)渡过了他的童年和青春期。 在学校的头五年 Raoul 并不是一个好学生。这或许可以安慰所有大器晚成的家长。 实际上，他除了在唱歌和德语之外没有得过一个 A. 然而，他在打破规则上显露出早期的天赋，还有制造火花－电火花，就是鼓捣电线，保险丝，电子管和变压器。 学校都是很正规严格的，一个学生如果行为不端可能要吃巴掌或是被揪耳朵。但是 作为一个初露萌芽的原创思想家，Raoul 成功得逃过了学校（的监管）而毫发无损。他只记得因为四处疯跑的太厉害，一次被男修道士打手掌，另一次被老师拧耳朵 。 家庭别墅，英文女家教和音乐课，按大家的观念，完整的如田园诗般的生活，在19
35 年他的母亲因癌症去世后，突然中止了。他的继父很快再婚了。
Raoul 的实验天才在青春期全面开花。他和一个善良的灵魂 Tomy Hornak 做了一个 带罅缝的硬币盒子。当有人从罅缝投入硬币时，会显示出“谢谢你”。靠这个法子 他们为早期的实验获得资助。
Raoul 在学校的一些课程上很吃力，因而有一名雇佣的家教每周在家里辅导他几个 小时。那时Raoul 和 Tommy 造了一个使用Morse 码通讯的小机器。在家教时，他在 桌子下面拿着这个小机器，而Tommy 坐在地下室。Raoul 通过手里感到的长短电力 震动接受代码。然后通过按钮点亮地下室的灯泡来回应。当家庭教师相信他的学生 正在专心听课的时候，其实 Raoul 正在桌子下用 Morse 码聊天。回顾这段历史，
Bott 称这是他第一次尝试 email.
加拿大
1938年，随着希特勒的上台和德国进军捷克斯洛伐克，Bott 的继父母将他送到了英 格兰的安全地并让他在一所英国寄宿学校入学。因为只有英格兰的中途签证，次年 他们又向加拿大进发，那个国家直到今天依然非常地欢迎来自全世界的避难者和移民。
在1941 年的秋天，经过在安达略的一年严格的预备学习，Raoul Bott 发现自己来 到了蒙特利尔的Mxxxxll 大学（麦吉尔大学，加拿大名校）。因为对电的熟悉，不出 意料地，他选择了电子工程作为主修方向。他的评分相当高，但是他在[B4] 中回忆 ，他的兴趣更多的在保持“酗酒，喧闹，淘气和男子汉行为的工程传统”。数学是 他学得最好的课程；然而，那是工程意义上的数学，与他日后借之成名的纯推理的 数学不同。
因为他的欧洲人的才能，6英尺2英寸的体格和他经常戴的显眼的皮毛帽子，Bott在 麦吉尔格外出众。当朋友们问他来自哪里时，他会说来自捷克斯洛伐克的Dioszeg， 然后他满脸滑稽的补充道，在那里他是一个伯爵。打这以后，大家都喊他“伯爵” 。
伯爵有时说一口非常老外的语言。在蒙特利尔的电车上，Raoul 和他的室友 Rodol fo Gurdian 有时会故意大声开心的谈话。他们说的没有任何意义，因为他们在一起 时只是在发明语言。他们特爱从眼角欣赏周围那些努力听懂他们谈话的旅客的面部 表情。
Bott 喜爱歌剧，但一个穷学生怎么看得起？一次著名的男高音 Ezio Pinza 来 Hi s Majesty's Theater (1940s 蒙特利尔的一个歌剧院)演唱. 为了这次机会，Bott 在他的星期天盛装来到剧院。当看门人拦住他时，Bott 告诉那人不能拦他因为他是 Ezio Pinza 的侄子。Bott 说这句话时如此自信以至于那人放他进去了。自此以后 ，Bott 可以在这个剧院免费看所有表演了。
Bott 的室友 Rodolfo，一样的赤贫和喜欢歌剧。但是他没有勇气偷偷遛进去。当歌 剧《卡门》演出时，Rodolfo 非常想去。Bott 大度的邀请他一起去。到了那，检票 员已经跟 Bott 很熟了，但是他在门口拦住了Rodolfo. 这时Bott 转过身，以权威 的口气说道，“是的，他可以近来。”检票员一点都没有犹豫就服从了这位 Ezio Pinza 侄子的命令。
一年新年，Raoul, Rodolfo 和一些朋友去Mont Tremblant 蒙特利尔的一个冬季度 假胜地。在一个豪华尊贵的宾馆，正在进行盛大的庆典。令他的朋友们羡慕的是， Raoul 想法子遛了进去。不一会，Raoul 就站在了楼厅上，向下轻蔑的看着他的朋 友，并给他们看他正在吃的鸡腿。吃完后他骄傲的把骨头扔向他饥饿的朋友们。
（江山易改，本性难移。1960年，Bott那时已是哈佛的全职教授，和 Michale Ati yah 一起在印度 Tata 数学研究所做报告。一天，他们在新德里的街道上步行时， 路过了一个大庆典。Bott 决定不请而入，还拉上 Atiyah 和他一道。Atiyah，牛津 的教授，后来被女王授予 MIchael 爵士，选为皇家学会主席的人，一开始被整晕了 ，但很快全身心的加入到欢庆中。他们渡过了一段活跃的时光，分享了那些完全陌 生的人们的欢喜。）
一毕业，Bott 就加入了军队，但仅四个月后广岛的原子弹爆炸将他的军事生涯结束 了。他在麦吉尔大学的工程系修了一年的硕士计划。逐渐地他明白自己的兴趣更多 的在数学而不是工程，他完成了一篇很数学的硕士论文，关于“阻抗匹配”，对此 他说，“系里带着疑虑接受了，我今天也怀疑它的数学严格性。”
在麦吉尔，Raoul遇到了他未来的妻子，Phyllis，来自西印度群岛的英语文学专业 学生。今天，Phyllis 记得 Raoul 的第一次求婚。那时他还在军队节衣缩食。穿着 一身制服，他说，“你愿意嫁给我吗？如果你嫁给我，军队会付给我更多薪水。” 然后指向窗那边他的小房间，他补充道，“而且我们可以住在那儿。”这次求婚没 有被接受。但是两年后，他们结婚了。Bott 夫妇一直生活在一起，现在他们有四个
孩子和八个孙辈。他们在1997 年庆祝了金婚纪念。
布道
在麦吉尔工程的硕士阶段，Bott 正在为决定他的职业大方向而费尽心思。三十年后，Bott 被邀情在哈佛纪念教堂做一次布道。在他讲圣经中的Eli- 那个启发年轻的Samule(1 Samuel 3:3-6,8-10))智者－那一段时，他反思了在他生命中启动他的数学生涯的关键瞬间。我们应该读一下他对自己的 Eli 的描述原文：
所以当我看到这两本读物，也就是我们刚才在 xxxxure Service (译注：可能是宗教仪式)听到的，我无法拒绝它们。它们适合我们所有人，无论成就高低。或许它们尤其适合今天在寻找他们的命运的年轻人。
因为当然的，从未有一个时代给我们的年轻人如此之多的自由因此也就如此之重的责任去寻找他们的命运。但是我们如何知道哪里需要我们？我们如何知道谁需要我们？这些都是超出一个数 学家知识范围的问题。在这些事情中某些人好像有完美的角度。更多的人或许认为 他们有。但是我们中的大部分的境遇和 Samuel 相同，因而我们祈祷有一位象 Eli 的导师。他代表了我们所有人的老师。除了把我们的使命告诉我们的学生，我们首 先应该试着帮他们洞察他们自己的。
我清晰的记得我的 Eli. 他是麦吉尔医学院的院长，我走向他希望他帮我进入那里的医学院，那是 1945 年，原子弹不可预料的结束了战争和我四个月的加拿大步兵 生涯。
军队非常明智的决定尽快辞退这样的绿色新兵，所以我们毫无预料的很快发现我们 又一次得照顾自己的生活了。在那一年之前我已经从工程系毕业，但是已经决定离 开那一行。
院长很诚挚的接待了我并且向我保证很需要有技术训练的医生。但是，他让我坐在 身旁，说，先来告诉我一些关于你自己的事情。你曾经对植物或生物感兴趣吗？嗯，其实没有，我不得不承认。那么化学呢？－哦，我厌恶那个课程。就这样。过 了一会他说，“好吧，可能你想造福人类？”然后，在我困窘的时候，他继续说道 ，“因为他们培养了最差的医生。”
我感谢了他，走出他的门，我明白我将重获新生，在上帝优雅的测验下，成为一个 数学家。
数学生涯
起初 Bott 想留在麦吉尔攻读博士学位。但是因为他过去的背景，麦吉尔数学系建 议他先读一个本科的数学学位。这将又花掉三年时间。麦吉尔的Willams教授觉察到 了他的失望，建议他去 Carnegie Tech(现Carnegie-Mellon University)，那里的John Synge 正在筹备新的研究生(graduate)计划，可能会需要一些学生。 Synge 在 Carnegie Tech 热情的接待了Bott, 但是当他们一起读学位守则时，发现Bott 必须花三年时间完成新订的硕士(master)计划课程。突发奇想，Synge 说， “让我们看看博士(Ph.D)计划。”结果它没有任何要求！通常硕士学历是博士学习 的先决条件，但或许是给 Bott 的一个特别礼物，Synge 直接把 Bott 放进了博士 培养计划里。仅仅两年后 Bott 就带着学位走人了。
Bott 发现 Carnegie Tech 的氛围非常有帮助。数学学生的小圈子包括 Hans Wein berger，现在明尼苏达大学，John Nash, 一个高年级本科生，后历经三十年的与精 神疾病的抗争，并于1994 年获得 Nobel 奖。后来，Bott 说起 Carnegie Tech"因 为是一个崭新的研究生计划，他们尚不晓得如何在研究生面前设置栅栏。"Bott认为 他非常幸运的遇到了他的导师 R.J.Duffin，因为 Duffin 从一开始就以平等待之 ，他们一起发表了两篇关于电子网络的数学文章。
这两篇文章的第一篇，关于阻抗函数[1]，受到 Hermann Weyl 的赏识，后者因此在 1949 年邀请 Bott 到高等研究院(IAS)。Bott 从此得入代数拓扑之堂奥。除了Wey l,他的主要老师有 N.Steenrod, E.Specker, K.Reidemeister 和 M.Morse.关于 E rnst Specker, Bott在[B2]中说，"我用数不清的愚蠢问题炮轰 Ernst，以至于绝望 的他最后为每个他能够在五分钟之内否定的猜想强征 25 美分的罚款。这应该会让 你体会到过去三十年的通货膨胀，于是也可以了解那时 Ernst 发的横财。"
那会儿 Norman Steenrod 正在写那本纤维丛拓扑的经典书，并基于此书开设课程。 这门课极大的影响了 Bott 的数学发展。
Bott 钦佩的描绘 Steenrod 不分层次高低，皆予平等尊重的风范。在普林斯顿，研 究生总是咄咄逼人，因为他们知道得特别多，也会强求你也知道。然而，Steenrod 不同。尽管他在数学群体中享有崇高的地位，但是他总是令每个人感到放松。在讨 论班上，Steenford 从不犹豫问些最基本的问题。对于那些太害怕或是太迷糊而不 能自己提出这些问题的人来说，这通常是项巨大的恩惠。
在 IAS 呆了两年后，Bott 来到了密歇根大学。1959年他成为哈佛的教授，从此一 直留在那里。他是哈佛的 William Casper Graustein 研究教授。
Dunster House
在 Raoul Bott 的履历表上，最不寻常（至少对一个数学家来说）的一项是，1978 －84 担任 Dunster House 的主任。在哈佛，模仿牛津和剑桥的模式，本科生住在 称为 Houses 的单元。一个 House 不仅是一个睡觉的地方；它还是构成一所大学之 中小团体的方式。每座 House 都有它自己的餐厅，宿舍，社会活动，以及由主任领 导的职员。学术职员包括住校和不住校的辅导教师。
或许是没有人感兴趣，或许是被认为气质不符，纯数学家很少被任命为本科生 Hou se 的主任。但是1978年，哈佛校长打破传统，任命 Bott 为 Dunster House 的主 任。这使得他必须住在三百名本科生中的主任宿舍里。Bott 的合群非常适合这个任 命。
每年各 Houses 之间都会在 Charles 河上举行划艇比赛。这不是在英格兰举办的绅 士比赛。在哈佛，你将看到攻击其他的橡皮艇是被允许的，甚至是被鼓励的。有一 年， Lowell House 组的舵手是他们的主任，他戴着舰长帽，气势辉煌。Bott 命令 Dunster House 舰队，盯住那顶漂亮的帽子。他喊叫着，“把那帽子给我抢过来！ ”好了，这正是本科生最爱服从的命令。Dunster 的学生立即划向 Lowell 艇。紧 接着发生了一场战斗，象所有厉害的海盗一样，Dunster 代表们抢到了舰长帽－后来被作为战利品高高地挂在 Dunster House 餐厅的屋顶。
为了展示House 的精神，Dunster House 船队成员有正式的队衫，上面有花纹盛饰 的"Dunster House"，一对桨，和口号: "Raoul, Raoul, Raoul your Bott." (译注 ：感觉像是谐音，roll,roll,roll your boat)
哈佛的Houses在耶鲁也有对应组织，那里他们称为 Colleges. 在这两所著名学府之 间经常会进行友好的竞赛，这也延伸到了 Houses 和 Colleges 之间。哈佛的有些 Houses甚至有姐妹Colleges. 他们可能，例如，在哈佛－耶鲁橄榄球比赛中互访。
在1960年代后期，在常春藤联盟中的大学，有许多传统，例如着装和学院的一些规 定已经被抛在一边，有几年，Dunster House 已经没有和它的耶鲁姐妹 Berkeley College 联系过了。有一年 Berkeley College 的主任，一位杰出的历史学家，决 定恢复这个传统。他写信向 Bott 建议在周末的哈佛－耶鲁橄榄球赛上访问Dunste r House. Bott 立刻答应了，不过他想让这次机会更有纪念意义。为什么不假扮来 让耶鲁人相信哈佛还保持着牛津剑桥在正餐时的高桌(High Table)和着学院袍的传 统？为什么不表演得好像 Dunster House 比耶鲁同侪更加文明礼貌呢？怀着热情， Dunster House 的所有本科生都支持这个主意。
在约会的那一天，Dunster House 餐厅从一个自助式餐厅变成了一个神圣的礼堂， 从亚麻布到男女侍者一应俱全，甚至还有一位戴着大勋章的酒司。和平日不同，看 不到T 恤或短袖。每位教员都着黑色学院袍。一只管弦乐队坐着待命。当耶鲁的主 任和他的教员到达时，Bott 拉长了诚实的脸问，“您们的学院袍呢？”当然，他们 都没有。“好吧，没关系，你们可以从我们这儿借一些。” 这样Dunster的教员领他们去找学院袍，那都是从哈佛小礼堂借来的。当 Bott 引领着他的客人进入餐厅 时，喇叭鸣了四响，然后管弦乐队开始演奏。本科生们都已入座，看起来如此整洁 ，有礼貌，和肃穆。Bott 和他的教员陪同 耶鲁来访者在为此次活动特别搭建的台子上面的高桌就餐。管弦乐队为宴会伴奏着 小夜曲。所有事务都按计划进行。但是耶鲁主任，究竟是内行，在最后时刻笑了出 来。他开口说的第一句话是，"我很高兴看到纽黑文(1716年后永久迁入的耶鲁大学 所在地)的文化迁徙到了哈佛。"
教师 Bott
Bott 上的课驭繁于简，几成传奇。他的风格几乎是那种在讲数学的人中间很流行的 定义－定理－证明模式的对立面。通常他喜欢讨论一些简单的关键例子来刻画问题 的本质。经常，一个明显重要的具体公式就会象魔术一样出现。 在一次哈佛新研究生的接待会上，他曾分享对于撰写博士论文过程的看法。他说， 那就像在做一份家庭作业；只不过这是一个更难的问题。你试着彻底地理解问题， 从所有可以想象的角度。论文工作的大部分是坚定不移的，另外的才是灵感。首要 的是，“让这个问题真正成为你的。”他的许多学生都证实过他的热情和人性，但
同时他都会要求学生符合某个严格的水准。他曾经禁止所指导的学生使用"基本上" 这个词，因为对Bott来说这个词意味着细节要被扫进地毯下面了。
这种对彻底性和明晰性的坚持也用在了他自己的工作中。I.M. Singer 评论道在他 们都年轻的时候，每次他们讨论数学时，Bott 说的最频繁的话就是"我不理解，"然 后隔了几个月，恰是对于那个他重复说不理解的主题，Bott 就会冒出一篇优美的论 文。
哈佛的讨论班演讲者倾向于向听众里的专家们表达自己。但象 Steenrod 一样，Bo tt 经常打断演讲者问些最基本的问题，这有益于演讲者放慢速度，使得他们更易被 少部分较慢的人理解。
在密歇根和哈佛，Bott 指导了36 份博士论文。他的一些学生自己也成为了学术明 星: Stephen Smale 和 Daniel Quillen 分别在 1966 和 1978 年获得菲尔兹奖， Robert MacPherson 在 1992 年获得国家科学院数学奖。附表是他的博士生的列表 （希望没有遗漏）。
荣誉和奖励
贯穿职业生涯的始终，Bott 都沐浴在荣誉，奖励(award 和 prize)之中。比较值得 注意的奖励包括：Sloan 学者奖(1956-60), 美国数学会Veblen奖(1964),古根海默 学者奖(1976),国家科学奖章(1987)，美国数学会Steele 终身成就奖(1990), 和数 学沃尔夫奖(2000).
他两次受国际数学家大会邀请做报告，1958 年在英国爱丁堡，1970 年在法国尼斯 他先后在 1974-1975 被选为美国数学会的主席，1976 年成为伦敦数学会的荣誉成 员，1985 年牛津圣凯瑟琳学院的荣誉董事，1997 年莫斯科数学会的荣誉成员，2005 年皇家学会的外籍成员。他自1964 年即是国家科学院的成员，自1995 年是法国 科学院的成员。
1987 年他在麦吉尔大学的集会上致词。他还获得下列大学的荣誉博士学位，Notre Dame (1980), 麦吉尔(1987), Carnegie Mellon (1989), 英格兰莱切斯特大学(1995).
数学工作
Raoul Bott 论文集[B5] 的文献目录里有部分省略的列出了他的到 1990 年为止的 出版物。
当被要求象奥林匹克竞赛一样挑出其中最好的三个时，他回答，"我可以再挤进去一 个吗？" 但是列完四个最好的，他叹口气说，"这就象小时候被问最喜欢的是谁一样
." 最后，他按字母序给出了前五名的列表:
[15] Homogeneous vector bundles,
[24] The periodicity theorem,
[51] Topological obstruction to integrability,
[81] Yang-Mills equations over Riemann surfaces,
[82] The localization theorem in equivariant cohomology.
仅讨论这五个将无法欣赏他产出的广度。另一方面，很明显也不可能在他无休止扩 张的作品里讨论每一项。作为折中，我请他列出一个更长的最喜欢的作品列表，而不用试着排序。后来从他选择的十九篇文章里我们看到一个从容不迫，顽皮嬉戏的 人。我的目标就是尽量简单的解释他自己最喜欢的这些文章的主要成就，故那些定 理，追究起来，通常没有写成最一般的形式。
阻抗
Raoul Bott 的第一篇论文的主题要追溯到他学工程的日子。一个电子网络决定了一 个阻抗函数 Z(s)，它描述这个网络的频率响应。这个阻抗函数Z(s) 是复变量 s 的 有理函数，且是正实的－即它是右半平面的内映射。电子工程的一个古老问题是， 给定一个正实有理函数 Z(s), 可不可能构造一个以 Z(s) 为阻抗函数的网络。在某 种意义上，O.Brune 已经在1931 年将此问题解决，但是 Brune 的方案假定存在一 个"理想变压器"，在现实生活中有哈佛科学中心那么大。这个假设使得 Brune的算 法不大现实，从方案中去掉这个理想变压器的限制正是 Raoul 在麦吉尔时的梦想。
当他在Carnegie Tech 第一次和导师 Richard Duffin 见面时，这个问题立刻脱口 而出。过了许多天，经历了毫无结果和艰辛的讨论，Raoul 回到家，想到了解决的 办法。他给Duffin 打电话，结果占线。后来才知道，Duffin 也有了相同的主意正 在给他打电话！他们在一篇合作论文里写下了这个悬久未决的问题的解答，令人惊 奇的是，它只占了两页纸。
Morse 理论
前面提到过，关于阻抗的论文获得了Hermann Weyl 的赏识后者因而邀请Bott 于19 49 年来到普林斯顿的高等研究院。在那儿Bott 和Marston Morse 有了接触。Mors e 关于临界点的理论将在Bott 的整个数学生涯里起到决定性的作用，尤其是在他的 “齐性空间，Lefschetz 超平面定理，周期性定理以及模空间上的 Yang-Mills 泛 函”等工作中。
1920 年代，Morse 开始研究空间上函数的临界点，以及它和空间的拓扑关系。光滑 流形M 上的光滑函数f 在M 上的p 有临界点，如果有p 点的一坐标系(x_1,..,x_n) 使得f 在p 的各阶偏导为零:
$\partial f/ \partial x_i(p)=0$ 对于所有 i=1,..,n.
这样的一个临界点称为是非退化的如果二阶导矩阵, 称为f 在p 点的 Hessian,
$H_pf=[\partial ^2f/\partial x_i \partial x_j (p)$,
是非奇异的。非退化临界点的指标$lambda(p)$ 定义为在p 处的 Hessian $H_p f$
的负特征值的个数；它是f 从p 点开始下降的独立方向的个数。
如果一个光滑函数只有非退化临界点，我们称之为 Morse 函数。一个Morse 函数的
临界点的行为可以用它的Morse 多项式来刻画:
$\mathfrak{M}_t(f):= \sum t^{\lambda(p)}$,
其中求和是针对所有的临界点p.
一个Morse 函数的典型例子就是垂直站立在桌面上的环面的高度函数
这个环面的高度函数有4 个指标分别为0, 1, 1, 2 的四个临界点。它的Morse 多项
式是
$M_t(f)=1+2t+t^2$.
对于紧流形M 上的Morse 函数f，Morse 理论的基本结果和下述事实有关，对于f 的
指标为$\lambda$ 的临界点，M 和粘有一个$\lambda$维胞腔的CW 复形同伦。这个
事实是根据1950 年代 Pitcher, Thom 和Bott 的工作。
立即得到如下两个推论:
i) 弱Morse 不等式:
指标为i的临界点个数$\geq$第i 个Betti 数.
若
$P_t(M)=\sum dim H_i(M)t^i$
是M 的Poicare 多项式，Morse 不等式可以重述为
$M_t(f)\geq P_t(M)$,
这意味着$M_t(f)-P_t(M)$是有非负系数的多项式。这个不等式对分析提供了一个拓
扑约束，因为它说流形的第i 个Betti 数是函数f 指标i 临界点个数的必须下界。
ii) 空隙原理: 如果Morse 函数f 的任两个临界点的指标都不相连，那么
(1) $M_t(f)=P_t(M)$.
原因很简单: 因为M 的CW 复形没有两个胞腔的维数相连，边界算子自动是零。因此
胞腔链复形是它自己的同调。
M 上满足(1) 的Morse 函数f 称为是完美的。环上的高度函数就是一个完美的Mors
e 函数。
经典的Morse 理论仅处理所有临界点都是非退化的函数；特别地，临界点必须是孤
立的。但是，在许多情形，临界点构成M 的一个子流形。例如，如果环面象一个油
炸饼圈一样放平在桌面上，那么高度函数以顶部和底部的圆环为临界流形(图2).
Bott 的 第一感觉之一就是看看怎么把Morse 理论推广到这个情况。在[9] 中他引
入了非退化临界流形的概念：称一个临界流形N 是非退化的，若对N 上的p 函数f
的Hessian 限制到N 的法空间都是非奇异的。然后非退化临界流形N 的指标$\lamb
da(N)$ 定义为这个法Hessian 的负特征值的个数；它表示f 下降的独立方向的个数
。简单起见，假定非退化临界流形的法丛皆是可定向的。为了构造f 的Morse 多项
式，对每个临界流形N 都计算它的Poincare 多项式；这样,
$M_t(f):=\sum P_t(N)t^{\lambda(N)},
关于所有临界流形求和。
在这个Morse 多项式的定义下，Bott 在[9] 中证明如果光滑流形M 上的光滑函数f
仅有非退化的临界流形, 那么Morse 不等式仍然成立:
$M_t(f)\geq P_t(M)$. 不懂。哈哈... 顶一下。 [quote][b]引用第2楼[i]无心插柳[/i]于[i]2006-12-21 00:40[/i]发表的[/b]:
顶一下。[/quote]
这就不好了吧。 [s:3]
页:
[1]
